Εισαγωγή. Διανύσματα. Γεωμετρική αναπαράσταση. Συμβολισμός. Πολλαπλασιασμός διανύσματος με αριθμό. Αρνητικό διάνυσμα. Μηδενικό διάνυσμα. Πρόσθεση διανυσμάτων γεωμετρικά. Ανάλυση διανύσματος σε συνιστώσες και επιλογή συστήματος αναφοράς (συντεταγμένων). Μοναδιαία διανύσματα. Διανύσματα βάσης συστήματος αναφοράς. Διανύσματα και φυσικές μονάδες. Πολλαπλασιασμός μεταξύ διανυσμάτων (εσωτερικό γινόμενο). Εσωτερικό γινόμενο και γεωμετρική ερμηνεία. Αναλλοιότητα εσωτερικού γινομένου --παραδείγματα σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς. Προβολή διανύσματος σε άλλο διάνυσμα. Πολλαπλασιασμός μεταξύ διανυσμάτων (εξωτερικό γινόμενο). Εξωτερικό γινόμενο γραμμένο ως ορίζουσα πίνακα μοναδιαίων διανυσμάτων και συνιστωσών. Μέτρο εξωτερικού γινομένου και γεωμετρική ερμηνεία.
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6abb7e1fcd9ec409d4b68f2b
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6abb7e27cd9ec409d4b68f2c
Διανύσματα (vectors) και βαθμωτά μέγεθη. Γεωμετρική και αλγεβρική αναπαράσταση. Διανύσματα σε 2 διαστάσεις και στροφή στο επίπεδο xy: μετασχηματισμός συνιστωσών (γεωμετρική ανάλυση). Εναλλακτική εξαγωγή κανόνων μετασχηματισμού μέσω στροφής των διανυσμάτων βάσης και έκφρασης των $\hat{x}$, $\hat{y}$ συναρτήσει των $\hat{x}'$, $\hat{y}'$.
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6abe3d40cd9ec409d4b68ffc
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6abe3d48cd9ec409d4b68ffd
Σύνθεση διανυσμάτων και ο διανυσματικός χαρακτήρας της δύναμης και της ορμής, παραδείγματα φυσικής που δείχνουν τον πειραματικό χαρακτήρα του κανόνα του παραλληλογράμμου: τροχαλία σε νήμα που κρέμεται από δύο καρφιά με το ένα να χαλαρώνει και μπιλιάρδο. Απόδειξη μεταθετικής και προσεταιριστικής ιδιότητας της πράξης της πρόσθεσης, μεταθετικότητα εσωτερικού γινομένου και αντιμεταθετικότητα του εξωτερικού γινομένου. $(\vec{A}\cdot\vec{B})\vec{C} \neq \vec{A}(\vec{B}\cdot\vec{C})$. Εσωτερικό γινόμενο και επιμεριστική ιδιότητα. Αθροιστική σύμβαση, βωβοί και ελεύθεροι δείκτες. Εξωτερικό γινόμενο, κανόνας δεξιού χεριού, μέτρο, εξωτερικό γινόμενο σε ζεύγη μοναδιαίων διανυσμάτων βάσης. Παράδειγμα εξωτερικού γινομένου: μαγνητική δύναμη $\vec{F} = q\vec{u}\times\vec{B}$ σε κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο με $\vec{u} = u\hat{x}$, $\vec{B} = -B\hat{z}$.
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6ac4b8a1cd9ec409d4b6910d
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6ac4b8a9cd9ec409d4b6910e
Αναλλοιότητα μέτρου, γωνίας και εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων, άσκηση με αριθμητικό παράδειγμα. Απόδειξη αναλλοιότητας του εσωτερικού γινομένου για οποιαδήποτε δύο διανύσματα χρησιμοποιώντας την αναλλοιότητα του μέτρου των επιμέρους διανυσμάτων. Ανάλυση διανύσματος σε κάθετη και παράλληλη συνιστώσα ως προς κάποιο άλλο διάνυσμα. Μοναδιαία διανύσματα με τυχαία διεύθυνση.
Εξωτερικό γινόμενο ξανά, γεωμετρική ερμηνεία, γραφή σε συνιστώσες και το σύμβολο Levi-Civita. Το εξωτερικό γινόμενο ως ορίζουσα.
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6acdf320cd9ec409d4b692e8
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6acdf329cd9ec409d4b692e9
$\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})$, γεωμετρική ερμηνεία, γραφή χρησιμοποιώντας το σύμβολο Levi-Civita και ορίζουσα. Τριπλό εξωτερικό γινόμενο και κανόνας BAC-CAB: $\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c}) - \vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})$.
Λύση προβλήματος 2 (απόδειξη τριγωνομετρικών ταυτοτήτων). Στροφή στο επίπεδο xy ξανά, αυτή τη φορά γραμμένη ως πίνακας και σε στοιχεία πίνακα κάνοντας χρήση της αθροιστικής σύμβασης $x'_i = a_{ij} x_j$. Εισαγωγή στους πίνακες και τον πολλαπλασιασμό μεταξύ αυτών. Τα στοιχεία του πίνακα στροφής και το εσωτερικό γινόμενο των μοναδιαίων διανυσμάτων βάσεως του άτονου και του τονούμενου συστήματος συντεταγμένων $a_{ij} = \hat{x}'_i\cdot\hat{x}_j$. Ο πίνακας στο τέλος της διάλεξης.
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6ad72d9f49223daf8abbe434
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6ad72da749223daf8abbe435
Στροφές ξανά, ενεργά και παθητικά. Στροφές γραμμένες σε πίνακες και συνιστώσες $X' = RX$ και $X = R^T X'$, και επαναδιατυπωμένες ως $x'_i = a_{ij} x_j$ και $x_j = a_{ij} x'_i$, με $R = [a_{ij}]$ και $R^T = [a_{ji}]$. Μοναδιαίος πίνακας $I = [\delta_{ij}]$ (Δέλτα του Κρόνεκερ). Ανάστροφος και αντίστροφος. Το εσωτερικό γινόμενο γραμμένο ως $X^T X = \vec{x}\cdot\vec{x} = x_i x_i$. Το γινόμενο $X X^T$. Συνθήκη ορθογωνιότητας γραμμένη ως $R^T R = I$, δηλαδή $R^T = R^{-1}$, και επαναδιατυπωμένη με συνιστώσες $a_{ij} a_{ik} = \delta_{jk}$.
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6ad9ecbf49223daf8abbe4bc
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6ad9ecc649223daf8abbe4bd
Πολλαπλασιασμός πινάκων $AB \neq BA$. Γραφή σε συνιστώσες $C_{ij} = A_{ik} B_{kj}$. Οι πράξεις που ο βωβός δείκτης δεν εμφανίζεται σε αυτές τις θέσεις, π.χ. $ A_{ki} B_{kj}$ και άλλα παραδείγματα και ασκήσεις. Απόδειξη ότι $(AB)^{T} = B^T A^T$.
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6ae07631d163d0a47ac1a1b1
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6ae07639d163d0a47ac1a1b2
Levi-Civita ξανά. Απόδειξη της προσεταιριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού πινάκων $A(BC) = (AB)C$. Συμμετρικοί και αντισυμμετρικοί πίνακες. Εισαγωγή στα γραμμικά συστήματα εξισώσεων.
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6ae33551d163d0a47ac1a1f4
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6ae3355ad163d0a47ac1a1f6
Επίλυση συστήματος $AX = Z$, όπου $A$ πίνακας $2\times 2$. Εύρεση του αντιστρόφου $A^{-1}$, όταν αυτός υπάρχει, έτσι ώστε $A^{-1} A = I$, με $I = [\delta_{ij}]$. Συνθήκη αντιστρεψιμότητας γραμμένη ως $det(A) = |A| \neq 0$. Παράδειγμα αδύνατου συστήματος με $|A| = 0$ και γεωμετρική ερμηνεία στις 2 διαστάσεις. Γραμμικά εξαρτημένο σύστημα: οι συντελεστές του συστήματος έχουν σχέση αναλογίας σε τουλάχιστον δύο ή και περισσότερες σειρές ($|A| = 0$). Λύση ομογένους συστήματος $A X = 0$ με $A$ πίνακα $3\times 3$, οπτικοποίηση του προβλήματος στις 3 διαστάσεις, συνθήκη επιλυσιμότητας και εύρεση της μη-τετριμμένης λύσης.
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6ae9b0b085dc1c912256a0a7
- https://uniflix.uoa.gr/vod/player?id=6ae9b0ba85dc1c912256a0a9
Από το βιβλίο Βασικές Μαθηματικές Μέθοδοι (Θ. Αποστολάτος):
- Κεφάλαιο 1: ολόκληρο
- Κεφάλαιο 2: όχι ακόμα
- Κεφάλαιο 3: 3.1 - 3.6